Quadrando o círculo

A partir deFC Flying, a alquimia livro publicado em 1618.
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Matemática
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Quadrando o círculo é a tentativa de construir, usando régua e compasso , um quadrado com uma área igual à área de um determinado círculo. A palavra 'tentativa' é usada acima porque a tarefa foi provado impossível. Isso é conhecido há mais de 100 anos, mas já era suspeito há muito mais tempo.


Naturalmente, um obstáculo menor, como a impossibilidade, não impediu as pessoas de tentarem fazer a quadratura do círculo. Uma pessoa que tenta quadrar o círculo é chamada de idiota círculo quadrado , e o termo, por extensão metafórica, pode ser aplicado a qualquer praticante de impossibilidades recreativas semelhantes.

Então, como você pode fazer isso?

Conteúdo

Por que você deseja quadrar o círculo?

A quadratura do círculo (em um número finito de etapas) é um problema que não foi resolvido desde a época do antigo Gregos . Portanto, se você pode resolvê-lo, deve ser mais inteligente do que qualquer pessoa desde os tempos dos antigos gregos. Além disso, você provavelmente obterá amplo reconhecimento por resolver um problema tão antigo (e, portanto, extremamente importante). Talvez você ganhe um Medalha Fields !

Em uma nota mais séria, quadrar o círculo exigiria construir o comprimento begin {align} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {align }. (Um círculo com raio17x ^ 2-4x-12 = 0tem áreax =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Portanto, um quadrado com a mesma área deve ter um lado de begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {alinhar}) Se este número pudesse ser construído, isso provaria que begin {align} & f (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & f (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  end {align}é um número algébrico, o que significa que há algum conjunto possível de números racionais que você pode usar para calculá-lo.


Por uma variedade de razões (essencialmente subjetivas), o próprio pensamento de queAlquimiaera de alguma forma inacessível através de números 'normais' realmente parece incomodar algumas pessoas. A lenda diz que Pitágoras assassinou a pessoa que descobriu queera irracional, então o pensamento de quese fosse completamente inacessível por meio dos inteiros, seria um anátema. Uma objeção particular é baseada em passagens no Bíblia , como 1 Reis 7: 23-26 é acreditado (por alguns literalistas) para implicar quetem que ser racional e igual a 3.



Também sem uma boa razão, durante os anos 1700, surgiu a crença de que a quadratura do círculo resolveria de alguma forma o problema da 'Longitude' (a incapacidade dos navios de mar de determinar onde estavam no eixo leste-oeste). Como havia enormes prêmios em dinheiro em oferta (em 1714, o governo britânico ofereceu um prêmio de £ 20.000), isso entusiasmou todos os matemáticos amadores da Europa. A quadratura do círculo é realmente irrelevante; tudo o que era necessário para resolver o problema da longitude era a capacidade de observar o sol e um relógio realmente bom.


No matemática mundo a questão foi posta de lado em 1882, quando Ferdinand von Lindemann provou quenão é algébrico (no jargão técnico, é 'transcendental'). Porque definitivamente não há números racionais que possam calcular, é impossível construirno espaço euclidiano.

No entanto, os verdadeiros crentes não serão dissuadidos por nada tão frágil como 'prova'. Eles persistem porque acreditam que há um preconceito ideológico contra os quadratários cujas corajosas investigações ameaçam a ortodoxia confortável da matemática desconstrucionista ocidental.


Na verdade, o único viés ideológico em vigor é o fato de os matemáticos reais não se incomodarem em perder seu tempo com manivelas .

Esboço da prova

Em uma construção de compasso e régua, é possível definir o comprimento da unidade de qualquer par de pontos dados. Além disso, apenas os pontos que são fornecidos e as intersecções de círculos e retas previamente construídos podem ser considerados, e retas e círculos só podem ser construídos a partir de pontos previamente definidos.

Encontrar as interseções de uma linha / círculo e outra linha / círculo envolve a resolução simultânea de um sistema de duas equações, cada uma das quais quadrática ou linear. Essas retas e círculos, por sua vez, dependem dos pontos que os definem, portanto, com um pouco de álgebra, pode-se ver que definir um ponto a partir de alguns dados equivale a resolver uma equação quadrática cujos coeficientes são ou inteiros, ou são o resultado de aplicações repetidas deste método.

Digamos, por exemplo, que quiséssemos determinar os pontos onde uma linha com inclinação de quatro intersecta um círculo com raio de quatro centrado no ponto. Para encontrar os pontos de intersecção, precisaríamos estabelecer um sistema de equações onde o círculo é dado pela equaçãoe a linha é dada pela equação. Em seguida, substituiríamos a linha pela equação na equação do círculo, expandiríamos e simplificaríamos.




Para encontrar as raízes, reorganizamos isso para ser igual a 0:

Observe que este é de fato um polinômio de variável única com números inteiros como coeficientes, como seria de se esperar da construção de compasso e borda reta. Uma vez que não será fatorado facilmente, podemos usar a fórmula quadrática:

Para qualquer quadrático no formulário, a seguinte fórmula é aplicável:



Esta é a 'fórmula quadrática'.

Usando nossa equaçãoo seguinte é verdade:

Que dá raízes.

Para encontrar ovalores, substituímos as raízes acima na equação para a linha:

Portanto, segue-se que a linhacruza o círculonoe.


Na análise elementar, os números que satisfazem alguma equação polinomialonde os coeficientessão inteiros (ou seja, a equação quadrática acima) são o que é conhecido como números algébricos. Além disso, eles formam o que é conhecido como um campo algébrico fechado, ou seja, todas as raízes de polinômios com coeficientes algébricos são eles próprios números algébricos. Portanto, todos os números que é possível construir com compasso e régua devem ser algébricos, que(e, portanto, sua raiz quadrada) não. Assim, a construção é impossível. Na verdade, as constantes matemáticas e (2,71828 ...) e(3.14159 ...) pertencem a uma classe de números conhecida como números transcendentais, números que não são raízes de polinômios diferentes de zero com coeficientes inteiros. A prova formal completa disso é conhecida como teorema de Lindemann-Weierstrass. Ao contrário de outros campos (por exemplo, ciência, direito), o conceito de 'prova' em matemática é absoluto, ou seja, uma vez que uma prova válida é fornecida de algo, não há absolutamente nada que possa contestá-lo dentro da base axiomática em que é trabalhado.

Trair

Você pode enganar facilmente, mas você pode fazer isso com uma bússola e régua?

Uma forma comum de quadrar o círculo é trapacear. (Os matemáticos chamam issoaproximação.) Lembre-se de que a declaração do problema é construir um quadrado dea mesma áreatenha umcírculousandorégua e compasso.Qualquer um dos termos em itálico deve ser considerado meramente opcional.

Por exemplo, dado um círculo, é simples construir um quadrado com uma área igual a 3,2 vezes o quadrado do raio do círculo dado. Este quadrado não tem a mesma área do círculo, mas pareceráterrivelmente perto.Isso deve ser bom o suficiente para os matemáticos.

Ou, em vez de começar com um círculo, poderíamos começar com um polígono com, digamos, 96 lados. Isso é perto o suficiente de um círculo - certo, todos? É possível 'quadrar o polígono' (como era conhecido pelos gregos), então é basicamente possível quadrar o círculo. Como alternativa, você pode mostrar como quadrar um polígono com 96 lados, um polígono com 192 lados, um polígono com 384 lados e assim por diante. Portanto, passando ao limite, podemos quadrar o círculo.

Trapaceando de várias maneiras ao mesmo tempo

O seguinte processo envolve uma calculadora. Não é exato, mas pode ser aprimorado com a precisão das ferramentas que você possui.

  • Primeiro, calcule a área do círculo.
  • Em seguida, tire a raiz quadrada da área, para obter o comprimento da borda do quadrado.
  • Se você tiver boas ferramentas de desenho, poderá até desenhar o quadrado, agora que tem o comprimento da borda.

Traindo com um auxílio físico

  • Crie uma roda do mesmo tamanho que o círculo e que tenha a metade da largura do raio do círculo.
  • Cubra a lateral com tinta úmida e faça-a girar sobre uma superfície plana exatamente uma vez.
  • Isso deixa um retângulo pintado com a mesma superfície do círculo.
  • Finalize quadrando este retângulo (esta etapa pode ser feita mesmo com régua e compasso).

Aviso

Se você desenvolver uma necessidade de falar ou debater pessoas que não querem saber de nada, você deve procurar atendimento médico imediatamente. Os quadratários não estão, em sua maioria, interessados ​​em ter suas ideias criticadas. Eles não são convencidos por 'provas' - se estivessem, não teriam começado o problema. Ver Tomada de Keith Devlin sobre isso para mais.

A família clássica de problemas insolúveis

Quadrando o círculo , dobrando o cubo e trissecando um ângulo pode ser chamada de a trindade dos problemas clássicos insolúveis na geometria euclidiana. Uma vez que todos os três foram provados serem impossíveis, usando nada além de uma régua e um compasso, é claro que é irresistível que manivelas esquadrem, dobrem e trissectem de qualquer maneira. Outro problema, físico desta vez, é inventar um movimento Perpétuo máquina, o que é igualmente impossível. O tempo e o esforço desperdiçados nisso desafiam a crença, mas se os excêntricos se ativerem a essas tentativas fúteis, pode-se argumentar que eles, pelo menos, não estão causando nenhum dano enquanto estão envolvidos nesses esforços.